Que é a consonancia?

Na nota anterior, descubrimos como funciona o son. Repetimos esta fórmula:

SON = TON DO SOLO + TODOS VARIOS OVERTONS

Ademais, como os xaponeses admiran as flores de cereixa, tamén admiraremos o gráfico de resposta en frecuencia, a característica amplitude-frecuencia do son (Fig. 1):

Lembre que o eixe horizontal representa o tono (frecuencia de oscilación), e o eixe vertical representa a sonoridade (amplitude).

Cada liña vertical é un harmónico, o primeiro harmónico adoita chamarse fundamental. Os harmónicos están dispostos do seguinte xeito: o segundo harmónico é 2 veces máis alto que o ton fundamental, o terceiro é tres, o cuarto é catro, etc.

En aras da brevidade, no canto de “frecuencia nharmónico" simplemente diremos "nth harmónico", e no canto de "frecuencia fundamental" - "frecuencia do son".

Entón, mirando a resposta en frecuencia, non nos será difícil responder á pregunta, que é a consonancia.

Como contar ata o infinito?

Consonancia significa literalmente "co-soar", sonar conxunto. Como poden soar dous sons diferentes xuntos?

Debuxémolos no mesmo gráfico uns baixo os outros (Fig. 2):

Aquí está a resposta: algúns dos harmónicos poden coincidir en frecuencia. É lóxico supoñer que cantas máis frecuencias coinciden, máis sons "comúns" teñen e, en consecuencia, máis consonancia no son de tal intervalo. Para ser completamente precisos, é importante non só o número de harmónicos coincidentes, senón que proporción de todos os harmónicos que soan coinciden, é dicir, a relación entre o número de armónicos que soan e o número total de harmónicos que soan.

Obtemos a fórmula máis sinxela para calcular a consonancia:

onde N_sovp é o número de harmónicos coincidentes,  N_común é o número total de harmónicos que soan (o número de diferentes frecuencias de son) e contra e é a nosa consonancia desexada. Para ser matematicamente correcto, é mellor chamar a cantidade unha medida de consonancia de frecuencia.

Ben, o asunto é pequeno: hai que calcular N_sovp и N_común, divídese un polo outro e obtén o resultado desexado.

O único problema é que tanto o número total de harmónicos como o número de harmónicos coincidentes é infinito.

Que pasa se dividimos o infinito entre o infinito?

Cambiamos a escala do gráfico anterior, "afastámonos" del (Fig. 3)

Vemos que os harmónicos coincidentes ocorren unha e outra vez. A imaxe repítese (Fig. 4).

Esta repetición axudaranos.

Abonda con calcular a razón (1) nun dos rectángulos punteados (por exemplo, no primeiro), entón, debido ás repeticións e en toda a liña, esta proporción permanecerá igual.

Para simplificar, a frecuencia do ton fundamental do primeiro son (inferior) considerarase igual á unidade, e a frecuencia do ton fundamental do segundo son escribirase como unha fracción irredutible.  .

Teñamos en conta entre parénteses que nos sistemas musicais, por regra xeral, son precisamente os que se usan, cuxa relación de frecuencias se expresa por algunha fracción.  . Por exemplo, o intervalo dunha quinta é a razón  , cuartos -  , tritón -   etc.

Calculamos a razón (1) dentro do primeiro rectángulo (Fig. 4).

É bastante sinxelo contar o número de harmónicos coincidentes. Formalmente, hai dous deles, un pertence ao son inferior, o segundo ao superior, na figura 4 están marcados en vermello. Pero estes dous harmónicos soan á mesma frecuencia, respectivamente, se contamos o número de frecuencias coincidentes, entón só haberá unha desas frecuencias.

Cal é o número total de frecuencias de son?

Imos discutir así.

Todos os harmónicos do son inferior están dispostos en números enteiros (1, 2, 3, etc.). En canto calquera harmónico do son superior sexa un número enteiro, coincidirá cun dos harmónicos do fondo. Todos os harmónicos do son superior son múltiplos do ton fundamental , polo que a frecuencia n-o harmónico será igual a:

é dicir, será un número enteiro (xa que m é un número enteiro). Isto significa que o son superior do rectángulo ten harmónicos desde o primeiro (ton fundamental) ata n-oh, polo tanto, son n frecuencias.

Dado que todos os harmónicos do son inferior están situados en números enteiros, e segundo (3), a primeira coincidencia ocorre na frecuencia m, resulta que o son máis baixo dentro do rectángulo dará m frecuencias de son.

Hai que ter en conta que a frecuencia coincidente m volvemos a contar dúas veces: cando contamos as frecuencias do son superior e cando contamos as frecuencias do son inferior. Pero de feito, a frecuencia é unha, e para a resposta correcta, teremos que restar unha frecuencia "extra".

O total de todas as frecuencias de son dentro do rectángulo será:

Substituíndo (2) e (4) na fórmula (1), obtemos unha expresión sinxela para calcular a consonancia:

Para enfatizar a consonancia dos sons que calculamos, podes indicar estes sons entre corchetes contra:

Usando unha fórmula tan sinxela, pode calcular a consonancia de calquera intervalo.

E agora imos considerar algunhas propiedades da consonancia de frecuencia e exemplos do seu cálculo.

Propiedades e exemplos

Primeiro, calculemos as consonancias dos intervalos máis sinxelos e asegúrese de que a fórmula (6) "funciona".

Que intervalo é o máis sinxelo?

Definitivamente prima. Dúas notas soan ao unísono. Nun gráfico quedará así:

Vemos que absolutamente todas as frecuencias de son coinciden. Polo tanto, a consonancia debe ser igual a:

Agora imos substituír a razón polo unísono  na fórmula (6), temos:

O cálculo coincide coa resposta "intuitiva", que é de esperar.

Poñamos outro exemplo no que a resposta intuitiva é igual de obvia: a oitava.

Nunha oitava, o son superior é 2 veces máis alto que o inferior (segundo a frecuencia do ton fundamental), respectivamente, na gráfica quedará así:

Na gráfica pódese ver que cada segundo harmónico coincide, e a resposta intuitiva é: a consonancia é do 50%.

Calcúmolo coa fórmula (6):

E de novo, o valor calculado é igual ao "intuitivo".

Se tomamos a nota como son máis baixo a e traza o valor da consonancia para todos os intervalos dentro da oitava na gráfica (intervalos sinxelos), obtemos a seguinte imaxe:

Os compases máis altos da consonancia están na oitava, quinta e cuarta. Historicamente referíanse a consonancias "perfectas". Os terzos menor e maior, e o sexto menor e maior son lixeiramente máis baixos, estes intervalos considéranse consonancias "imperfectas". O resto dos intervalos teñen un menor grao de consonancia, tradicionalmente pertencen ao grupo das disonancias.

Agora enumeramos algunhas propiedades da medida da consonancia de frecuencia, que proveñen da fórmula para o seu cálculo:

1. Canto máis complexa sexa a proporción  (canto máis número m и n), canto menos consoante sexa o intervalo.

И m и n na fórmula (6) están no denominador, polo tanto, a medida que aumentan estes números, a medida da consonancia diminúe.

2. A consonancia ascendente do intervalo é igual á consonancia descendente do intervalo.

Para obter un intervalo descendente en lugar dun intervalo ascendente, necesitamos a razón   intercambiar m и n. Pero na fórmula (6), absolutamente nada cambiará de tal substitución.

3. A medida da consonancia de frecuencia dun intervalo non depende de que nota o esteamos construíndo.

Se cambias ambas notas no mesmo intervalo cara arriba ou abaixo (por exemplo, crea unha quinta non a partir dunha nota a, pero da nota volver), entón a razón  entre notas non cambiará e, en consecuencia, a medida da consonancia da frecuencia seguirá sendo a mesma.

Poderiamos dar outras propiedades de consonancia, pero de momento restrinxirémonos a estas.

Física e letras

A figura 7 dános unha idea de como funciona a consonancia. Pero é así como realmente percibimos a consonancia dos intervalos? Hai xente á que non lle gustan as consonancias perfectas, pero as harmonías máis disonantes parécenlle agradables?

Si, esas persoas certamente existen. E para explicar isto, hai que distinguir dous conceptos: consonancia física и consonancia percibida.

Todo o que consideramos neste artigo ten que ver coa consonancia física. Para calculalo, cómpre saber como funciona o son e como se suman as diferentes vibracións. A consonancia física proporciona os requisitos previos para a consonancia percibida, pero non a determina ao 100%.

A consonancia percibida determínase de forma moi sinxela. Pregúntaselle a unha persoa se lle gusta esta consonancia. Se si, entón para el é consonancia; se non, é a disonancia. Se se lle dan dous intervalos para a comparación, podemos dicir que un deles parecerá á persoa neste momento máis consoante, o outro menos.

Pódese calcular a consonancia percibida? Aínda que asumimos que é posible, entón este cálculo será catastróficamente complicado, incluirá un infinito máis: o infinito dunha persoa: a súa experiencia, as súas características auditivas e as súas capacidades cerebrais. Este infinito non é tan fácil de tratar.

Non obstante, a investigación nesta área está en curso. En particular, o compositor Ivan Soshinsky, que amablemente proporciona materiais de audio para estas notas, desenvolveu un programa co que se pode construír un mapa individual da percepción das consonancias para cada persoa. Actualmente está en desenvolvemento o sitio mu-theory.info, onde calquera pode ser probado e coñecer as características da súa audición.

E aínda así, se hai unha consonancia percibida, e difire da física, para que serve calcular esta última? Podemos reformular esta pregunta dun xeito máis construtivo: como se relacionan estes dous conceptos?

Os estudos mostran que a correlación entre a consonancia media percibida e a consonancia física é da orde do 80%. Isto significa que cada persoa pode ter as súas propias características individuais, pero a física do son fai unha contribución esmagadora á definición de consonancia.

Por suposto, a investigación científica nesta área aínda está no seu inicio. E como estrutura sonora, tomamos un modelo relativamente sinxelo de harmónicos múltiples, e o cálculo da consonancia utilizouse a frecuencia máis sinxela e non tivo en conta as peculiaridades da actividade do cerebro no procesamento do sinal sonoro. Pero o feito de que mesmo no marco de tales simplificacións se obtivese un grao moi alto de correlación entre teoría e experimento é moi alentador e estimula máis investigacións.

A aplicación do método científico no campo da harmonía musical non se limita ao cálculo da consonancia, tamén dá resultados máis interesantes.

Por exemplo, coa axuda do método científico, pódese representar gráficamente e visualizar a harmonía musical. Falaremos de como facelo a próxima vez.

Autor: Roman Oleinikov